Cours transversaux
Claire Chainais-Hillairet (Université Lille 1):
Méthodes numériques en ingénierie et physique
L’objectif du cours est de présenter des techniques d’analyse de méthodes numériques pour des modèles issus de la physique ou l’ingénierie (semi-conducteurs, corrosion, milieux poreux,…). Les schémas considérés sont de type volumes finis. On mettra en évidence l’importance de la préservation de certaines propriétés physiques des modèles (positivité, principe du maximum, inégalités d’énergie ou d’entropie,…) pour les preuves de convergence des schémas. On montrera également comment appliquer des méthodes d’entropie-dissipation au niveau discret pour étudier le comportement en temps long ou en limite de paramètres de certains schémas numériques.
Nicolas Curien (Université Paris Diderot):
Limites locales de graphes aléatoires
Dans ce mini-cours nous introduirons la théorie des limites locales de graphes aléatoires fondée par Benjamini et Schramm en 2001.
En particulier, nous construirons des graphes infinis planaires comme limites de graphes (cartes) planaires dont la taille tend vers l'infini, et étudierons leurs propriétés.
Ce faisant, nous utiliserons des outils de géométrie planaire comme les empilements de cercles et tisserons des liens entre les objets introduits et la théorie ergodique, la théorie des groupes et la physique théorique.
Jean Lécureux (Université Paris-Sud) :
Immeubles de Bruhat-Tits
Les immeubles sont des objets géométriques et combinatoires qui ont été introduits par Jacques Tits dans les années 1960. Ils sont définis comme des complexes simpliciaux, ou plus généralement cellulaires, satisfaisant des propriétés d'incidences bien précises. Souvent, ces immeubles possèdent de grands groupes d'automorphismes. L'idée de Jacques Tits est d'utiliser ces structures bien particulières afin de pouvoir étudier la structure des groupes d'automorphismes en eux-mêmes.
La première application, qui a motivé l'introduction de ces objets, était l'étude des groupes algébriques simples, ou plus généralement réductifs. Ces groupes agissent naturellement sur des immeubles, appelés sphériques car on peut les voir comme recollement de sphères. Le premier exemple est celui de la géométrie d'incidence d'un espace projectif, sur lequel le groupe général linéaire a une action naturelle. Les immeubles permettent dans ce contexte de reformuler de manière naturelle certains théorèmes de structures des groupes algébriques réductifs.
Une propriété intéressante de l'espace projectif est le "théorème fondamental de la géométrie projective", suivant lequel toute application préservant l'alignement est projective (avec peut-être un automorphisme de corps). Cette propriété se généralise aux immeubles sphériques. Ces propriétés de rigidité trouvent par exemple des applications en géométrie, du fait que le bord d'un espace symétrique est un immeuble sphérique. La rigidité des immeubles sphériques est ainsi notamment un ingrédient clef dans la preuve du théorème de rigidité de Mostow en rang supérieur.
Les immeubles trouvent également des applications importantes en arithmétiques. En effet, si l'on travaille sur un corps p-adique k, on peut démontrer que les k-groupes algébriques réductifs agissent sur une nouvelle classe d'immeubles, les immeubles de Bruhat-Tits. Ces immeubles peuvent être vus comme les analogues p-adiques des espaces symétriques. Par exemple, le groupe SL_2(Q_p) agit sur un arbre régulier, que l'on peut considérer comme un analogue du plan hyperbolique, sur lequel agit SL_2(R). Ils ont en particulier des propriétés de courbure négative. L'action du groupe sur un tel immeuble donne immédiatement des propriétés structurelles du groupe, comme la classification des sous-groupes compacts, les décompositions de Cartan et d'Iwasawa.
Enfin, on peut construire des exemples d'immeubles plus généraux, dont certains auront des groupes d'automorphismes larges, mais moins connus. Les propriétés structurelles des immeubles, et notamment les propriétés de courbure négative, qui sont conservées, ont des conséquences fortes sur la structure de tels groupes. Par exemple, on peut démontrer dans certains cas des propriétés de rigidité analogue à la rigidité de Mostow. Une autre famille de groupes agissant sur des immeubles, les groupes de Kac-Moody, donnent une famille de groupes dénombrables simples, objets dont on ne possède que peu d'exemples à l'heure actuelle.
